“球堆积”纪录被打破与几何朗兰兹猜测不同
今年5月，球堆积由9位数学家组成的纪录团队宣布取得重大突破——基于近30年的不懈努力，他们用800多页的被打论文证明了几何朗兰兹的猜测（Langlands conjecture）。
论文的共同作者之一 清华大学丘成桐数学科学中心助理教授
几何朗兰兹猜想的证明解决了一个巨大的开放问题，预计将影响未来几十年的朗兰研究，因为它可能会建立深刻而意想不到的兹猜联系。
更令人兴奋的球堆积是，这并不是纪录2024年唯一的重大进展。事实上，被打仅在几何领域就有几个里程碑证明，破何黎曼假说和abc猜想等数论中的朗兰棘手问题也取得了突破。
通常，兹猜当数学家找到将看似不相关的球堆积想法联系起来，打破不同研究领域之间的纪录障碍时，就会产生最好的被打结果。几何朗兰兹猜测证明了这一点。
然而，这样的突破通常不是凭空出现的，而是数学家经过几十年的努力和渐进步骤的积累才最终实现的。散落在每个角落的新想法不断地结合、审视和重组，直到看似完全不可能的事情变得不那么不可能，这就是数学进步的方式。
证明了几何朗兰兹的猜测
可以说，2024年最大的成就来自朗兰兹纲领（Langlands program），这是一个雄心勃勃的愿景，有着50年的历史。它的目标本质上是重新绘制数学地图——将每个板块整合成一个统一的盘古大陆，连接数学研究的不同领域。
但可想而知，证明朗兰兹纲领其实是极其困难的，陈述本身就是非常复杂和核心的，更不用说证明它们需要的技术了。
20世纪80年代，一位数学家提出了几何版本的纲领的关键部分之一——「几何朗兰兹猜想」，但直到今年5月，才有几十年没有人能解决这个问题。
这一证明对朗兰兹纲领的其他部分来说是一个巨大的福音，并将对未来产生深远的影响，推动数学家继续挖掘相关成果。正如一位数学家所说，「它将渗透到各个领域之间的所有障碍中。」
人工智能走向主舞台
还记得ChatGPT第一版的数学能力吗？当时虽然很容易掌握各种自然语言任务，但数学能力充其量只能为表情包提供素材。
在2024年之前，所有LLM都无法正确计算简单的加减乘除，更不用说解决应用问题了。至于数学问题的成熟证明，就更不用说了。
但从今年开始，情况就不一样了。
今年1月，谷歌Deepmind发布了AlphaGeometry，可以证明几何问题，然后在今年7月升级AlphaGeometry 国际数学奥林匹克竞赛AlphaProof（IMO）它达到了相当于银牌的水平，甚至离金牌只有一分之差。
AlphaProof是一项显示人工智能快速增长的数学能力的巨大成就。在一次采访和多次演讲对话中，陶哲轩表示，他对人工智能在数学领域的前景非常乐观，人工智能有望被视为「副驾驶」（copilot）参与未来的原创研究。
在我看来，三年后，人工智能将对数学家有用，它将成为一个优秀的co-pilot(副驾驶)。
你试图证明一个定理，你认为有一步是正确的，但你不太明白它是如何正确的，你可以说，「你能帮我做人工智能吗？」 它可能会说 「我想我能证明这一点」。
有了人工智能，我们可以一次证明数百或数千个定理，人类数学家将指导人工智能做各种事情。因此，我认为研究数学的方法将会改变，人工智能的实际使用将变得越来越容易管理。
「球堆积」纪录被打破
与几何朗兰兹猜测不同，「球堆积」问题的表达非常直观：在给定的n维空间中塞一堆半径相同的球，如何排列使密度最大，即塞进最多的球？
在三维空间中，球体可以排列成金字塔，类似于香槟塔，但如果是更高的维度呢？
2016年，乌克兰数学家Maryna Viazovska证明，有一个特定的晶格结构是在8维和24维空间中填充球体的最佳方式，但其他高维空间的答案仍不得而知。
数学家希望找到一个通用的解决方案——一个公式，提供一种在任何高维度上密集堆积球体的方法，即使不能给出最佳解决方案。
今年4月，我们见证了75年来通用版球堆积问题的首次重大进展。数学家没有以Viazovska这样有组织的方式排列球体，而是用图论给出了一个非常无序的积累方案。
米尔诺50年前猜测的反例
证明古老的猜想很重要，但反驳它们也很重要。在数学和各种科学中，我们必须始终保持怀疑，即使是直觉上可能成立的东西。
正是这种怀疑和批评的态度给今年带来了另一个重要的几何证据：三位数学家发现了米尔诺猜测（Milnor conjecture）的反例。
米尔诺猜测是一个有50年历史的问题，被称为「拓扑圣杯」，曲率与形状之间的关系涉及流形。
1968年，普林斯顿大学著名数学家John Milnor推测，如果一个完整的形状有一个相对平均的曲率，就足以告诉我们它不可能有无限多个孔。
举反例的三位数学家花了很多时间和精力试图证明米尔诺的猜想，但他们都失败了，但他们从另一个村庄想到——也许这个猜想是错误的？也许有空间建立一个反例？
从那时起，他们的进展几乎是前所未有的顺利。在短短几个月内，这三个人发现了如何构建一个奇怪的七维流形。他们以微妙而复杂的方式将无限的多个七维碎片粘在一起，一点一点地组装他们需要的整个流形，并确保里奇的曲率总是非负值。
最后，他们得到了所谓的「雪花光滑分形」——一种无限而精致的自相似结构。它在每一点上都有非负里奇曲率，但有无数的洞来反驳米尔诺的猜测。
这项工作涉及到一种新结构的发展，揭示了宇宙的可能形状可能比数学家想象的更奇怪，尽管据我们现在所知，宇宙的形状确实非常奇怪。
数论的重要进展
解决上述主要几何问题就像在数学平原上竖立高耸的纪念碑。但为未来的纪念碑奠定更好的基础也很重要，这是2024年数学领域发生的事情。
对于这一领域的一些顶级问题，尽管是渐进的，数学家们在理解问题方面取得了至关重要的进展。
例如，MIT数学教授Lary Jamesth和牛津大学菲尔兹奖得主 Maynard，黎曼假说取得了重大突破，直接打破了80多年的纪录。
虽然距离证明黎曼假说还有很长的路要走，但包括陶哲轩在内的很多数学家都说这是一个「历史时刻」，这是1940年后取得的唯一实质性突破，两位作者的工作取得了成功「轰动结果」。
此外，UCLA华人研究生和两位MIT研究生在数学领域最大的未解决问题之一——完全无序的数学不可能性取得了突破，在论文中，他们讨论了数学中的无序是如何不可避免地产生秩序的，这标志着Szemeredi问题几十年来的第一次进展。
不可否认，解决所有这些数学问题还有很长的路要走，但通过一步一步的接近，数学家们开发了强大的新工具包，并阐明了新的观点。再加上人工智能领域的快速发展，谁能预测2025年和未来会发生什么？
参考资料：
https://www.quantamagazine.org/the-year-in-math-20241216/
本文来源：新智元
